Discussion:Loi de réciprocité quadratique

Équivalence p-1 = 0 [3] SSI -3 est un carré

L'explication dite « plus directe » qui figure dans la version de mars 2021 ne tient vraiment pas debout :

1. on ne voit pas apparaître l'hypothèse sur p dans la suite (et pour cause, elle ne sert à rien) ;
2. ce qui est détaillé est une trivialité : si on trouve une équation de degré 2 dont le discriminant est -3, bien sûr que -3 est un carré ! en effet, à part en caractéristique 2, les formules pour résoudre les équations de degré 2 sont uniformes ; le problème, c'est qu'il n'est pas indiqué comment trouver a, b, c ou t dans le cas présent ;
3. en bref, il est écrit qu'il suffit de trouver t solution d'une équation non explicitée donc rien n'est démontré ;
4. même si cela fonctionnait, cela ne montrerait que la moitié de l'équivalence.

À la place de ce charabia, l'exercice 4.11 invoqué par Anne Bauval donne une idée simple qui montre l'équivalence sans invoquer la factorialité des entiers d'Eisenstein (plus chère que le caractère cyclique de (Z/pZ)*) et qu'on peut condenser (si c'est plus délayé dans cet exercice, c'est sans doute parce que c'est sous forme d'exercice).

D'où la question : vaut-il mieux une mauvaise explication partielle ou une bonne explication complète ?

Proposition pour l'équivalence. Cette équivalence se démontre plus directement. Puisque (Z/pZ)* est cyclique, ou par le lemme de Cauchy, p – 1 est un multiple de 3 si et seulement si (Z/pZ)* admet un élément d'ordre 3, c'est-à-dire un élément j différent de 1 tel que j³ = 1. Comme $j^{3}-1=(j-1)(j^{2}+j+1)=(j-1)\left({\Bigl (}j+{\frac {1}{2}}{\Bigr )}^{2}-{\frac {-3}{2^{2}}}\right)$, cela équivaut à l'existence d'une racine carrée de –3.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par JerGer (discuter), le 27/6/2021.

« Deuxième loi complémentaire (preuve due à Gauss) »

Bonjour Maimonid , cette longue preuve que tu viens d'ajouter n'est-elle pas la même que celle d'Euler qui figurait déjà dans cette boîte déroulante ? (sous forme condensée, grâce aux liens). Anne (discuter) 13 septembre 2021 à 14:09 (CEST)

Bonjour Anne. Je vais voir et je reviens.Maimonid (discuter) 13 septembre 2021 à 14:45 (CEST)

OK J'ai jeté un coup d'oeil. Je connaissais cette preuve mais je voulais voir si elle était présentée de telle sorte qu'elle ressemble beaucoup à la preuve de Gauss. Ben non. Je suis d'accord qu'il y a une idée de base commune, mais c'est à mon avis terriblement camoufler l'idée de la preuve de Gauss (surtout que la démonstration en question dans l'autre article est du genre "en procédant comme pour une somme de deux carrés..."). Il y a encore deux raisons supplémentaires pour conserver cette preuve dans l'article: d'une part, elle n'est pas plus longue que la seconde preuve par dénombrement (mais beaucoup plus simple et naturelle). Mais surtout, elle sert à illustrer les techniques utilisées par Gauss dans la preuve originale de la loi de réciprocité quadratique, que j'ai essayé d'expliquer plus haut. Sans cet example qui fait resentir les choses, tout est définitivement sibylin dans ce que j'ai écrit. C'est mon humble avis, mais peut être que l'avis de une ou deux personnes supplémentaires aiderait.Maimonid (discuter) 13 septembre 2021 à 15:07 (CEST)